白話解析 RSA 加密算法的數學原理

從自然數开始，一直講明白了 RSA 非對稱式加密的細節。

前不久 Jason 同學邀請復旦大學數學系的梅同學給希望了解 Web3 的朋友們上了 5 節硬核的數學課。從自然數开始，一直講明白了 RSA 非對稱式加密的細節。我再回顧一下，嘗試解釋這個其實還挺復雜的事兒。

（前方數學預警，但是我保證努力限制在小學數學知識範圍以內）

大數無法分解

3 * 7 算出 21 容易嗎？容易。反過來，21 是哪兩個數的乘積？也不難，但肯定比算 3 * 7 麻煩。

同理 967 * 379 = 366493 容易。反過來，366493 是哪兩個數乘積？難多了。

隨着乘積的不斷變大，算乘法的難度略微增大，算是這個數是由哪兩個數相乘的難度陡峭的增加。

一個一百位數字的數和一百位數字的數相乘，手工算不容易，但對計算機來說不難，結果是一個大約兩百位數字的數字。

反過來，把這個 200 位的數字分解？基本上現在能想到的辦法就是近似於一個一個的試。別說算乘法了，光從一數到 80 位的數字，按照現在的計算水平，就要消耗掉一個中等恆星一生的能量了。所以，簡單結論是，超級大的數字做分解不可能。

就利用這個簡單的原理，加上聽起來故弄玄虛的歐拉定理，就是一個精妙絕倫的 RSA 加密算法。

n 進制取個位

這個東西的數學名稱叫「取模」，就是算「一個數除以 n 以後的余數是幾」。

不過我們不用這個名字。我自己發明的一個混雜了數學和計算機的概念，叫做 n 進制取個位。比如 n = 8，八進制下只取個位，超過的十、百、千位數就直接扔掉，那么 15 這個數本來八進制就是 17，只取個位，就是 7。所以，我們規定，15 在八進制個位模式下，就等於 7。同樣，23，31 等，在 8 進制取個位下，都等於 7。這個「等於」，不是絕對數字的相等，而是經過了 n 進制取個位，我們用 ≡ 表示這種特殊的等於（正規說法叫做「模 n 同余」，可以忽略）。

這樣，如果 n 是 4 萬公裏的話，數字的世界變成像地球一樣，是一個循環。在赤道上可以向東走 1 萬公裏，和向西走 3 萬公裏結果是一樣的，甚至向西走 7 萬，11 萬，15 萬公裏的終點是一樣的，就是一圈一圈的轉就是了。所以 4 萬進制取個位， 1 萬 ≡ -7 萬 ≡ -11 萬 ≡ -15 萬。注意，畢竟走 7 萬公裏和走 11 萬公裏不相等 ( = )，但是在地球赤道上走，他們的效果相等 ( ≡ )。

例子：比如在 20 進制取個位下，3 * 7 的結果就是 1 （本來是 21，結果走過頭了， 又繞回來，回到了 1 ）。

連着乘兩個數就是它本身

這有啥用呢？神奇的事情在於，在 20 進制取個位下，任何數乘以 3 再乘以 7，就相當於乘以 1，就是這個數本身！

比如 12 * 3 = 36 ；36 % 20 = 16; 16 * 7 = 112; 112 % 20 = 12

變回原來了。神奇嗎？

在 20 進制取個位下，你把一個數乘以 3，我不用除以 3，而是繼續乘以 7 ，就是原來那個數。不僅僅是 7，我把乘 3 的數字乘以 67，127，或者 187。。。。它都會回到原來那個數，只是轉的圈數多了些。

這就使得，如果兩個數在一個 n 進制取個位下乘積爲 1，這兩個數不就是一個很好的加密和解密的工具嗎？

比如數字大一點，在 366492 進制取個位下，任何數乘以 967 得到的數再乘以 379，就是它本身。

公鑰和密鑰

如果我把 e = 967 當做公鑰，d = 379 當做密鑰，我只需要告訴別人（ e = 967, n = 366492）這兩個數字，別人乘積以後交給我，我再乘以 d ，然後。。。。

不過有一個小問題，如果給出了（e = 967, n = 366492）這兩個數，別人除以 e 不就得到了我的祕鑰 d 嗎？畢竟，你可以算乘法，別人就可以算除法，而且難度差不多。我們把這個辦法成爲露餡兒加密法。

接下來要做的事情，就是想辦法把這自己的密鑰藏起來，讓別人拿到 n 進制數，還有公鑰 e，沒有辦法算出我的密鑰，但是依然可以用 e 加密，我可以用私鑰 d 解密不就好了？

歐拉定理

我們引入 φ(n) 。它的定義可厲害了，是「小於 n 的正整數中和 n 互質的數的個數」。這個定義忽略就好，只要知道，如果 n 是兩個素數 p, q 的乘積的話， φ(n) = (p-1)(q-1)。

歐拉發現了一個驚天大祕密，居然在 n 進制取個位下，如果 m 和 n 互爲質數，m 的 φ(n) 次方 居然等於 1：

m ^ φ(n) ≡ 1

兩邊都取 k 次方：

m ^ (k * φ(n)) ≡ 1

兩邊都乘以 m ：

m ^ (k * φ(n) + 1) ≡ m

k * φ(n) + 1 是啥意思？就是這是一個「除以  φ(n) 余數爲 1 」的數字。也就是說，只要找到 e*d 這兩個數，使得他們的乘積除以 φ(n) 余數爲 1 就好。這個好找，有一個叫做輾轉相除法的方法，不過這裏先略過。我們一般常常把 e 固定的設爲 65537，然後就可以找到一個滿足的 d。

最後，也就是最驚豔的一步，如果我們能夠找到這樣的 e, d，我們把 e 和 n 告訴整個世界，讓他們在 n 進制取個位下，把要加密的數字 m 取 e 次方發給我，我對這個數再進行 d 次方，我就能得到 m。

(m ^ e) ^ d ≡ m

重新梳理

到現在大家應該已經無一例外的暈厥了。這很正常。我們再理一下就清楚了。

就是說，如果我能無論用什么方法，找到一個進制 n，在這個 n 進制取個位下，能夠找到兩個數字 e 和 d，e 公开給整個世界，d 留給自己，同時還能讓任何數字 m 的 e 次方的 d 次方還等於原來這個 m，加密解密算法不就成立了嗎？就跟最早我說的那個乘以一個數，再乘以另一個數，總等於原來的數字一樣？

但露餡兒加密法兩個乘法的算法的明顯的漏洞在於，e 和 n 給出了，d 也就給出了。

在這個新的算法中，e 給出了。n 給出了，但 e * d  ≡ 1 的進制，不是簡單地 n，而是和 n 同源，但是不同的 φ(n) 。正因爲進制改了，所以也不能用露餡兒加密法裏面的兩次乘法，而借用歐拉的驚天發現，做了兩次冪運算。

從 n 能不能算出來  φ(n) 呢？如果有能力分解 n 當然 φ(n) 唾手可得，把兩個因子各自減一再乘起來就好。

但是從 n 能不能輕易地找到 p 和 q 呢？根據最早的大數不可分解，要想找到 100 個太陽燒掉都不夠用，p 和 q 好像是腳手架，算出來 n，算出來 φ(n) 就扔掉了。 那么  φ(n) 就是一個祕密。如果 φ(n) 是個祕密，有了 e 也找不到 d。

所以，整個算法是無比精巧的安全。

舉例子

我們找兩個腳手架數字：p = 2, q = 7，算出 n = 2 * 7 = 14,  φ(n) = (2 - 1) * (7 - 1) = 6 。那兩個腳手架數字 p, q 在算出 n 和 φ(n) 後就退休了。找在 6 進制取個位下，e * d ≡ 1 好辦，e = 5, d = 11 就行 （ 5 * 11 = 55 = 6 * 9 + 1 ≡ 1）。

這樣，公布給全世界的數字就是 (e = 5, n = 14)，保留給自己的就是 d = 11。φ(n) 千萬也不能告訴任何人。φ(n) 就如同總統，n 如同他的影子。世界只能看到他的影子，看不到總統本人。好在影子在世間行走不怕暗殺，總統躲在防空洞裏是安全的。

我們來試一下，在 14 進制個位模式下，如果要傳遞的數字 m = 2，別人把 m ^ e 算出來，就是 2 ^ 5 = 32 = 2 * 14 + 4 ≡ 4

現在，4 就可以大大咧咧的在互聯網上隨便傳輸了。只有我知道有一個祕密是 11 。我拿到以後，算 4 的 11 次方，4 ^ 11 ≡ 4,194,304 % 14 ≡ 2 ，不就是別人要給我的那個數字嗎？前提是，我們認爲 別人從 n = 14 無法分解成 2 * 7，否則就全露餡了。

14 肉眼可以看出等於 2 * 7。

這個數 n：

8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559 

是 p

91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447

乘以 q

90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697

計算機眼也看不出來。 p 和 q 如同兩位門神，死死的守住了獲取它們後面的祕密的入口。但是從 p，q 算出 φ(n) ，以及 e，d，卻都是舉手之勞。

如果知道 n 的組成是 p，q，我們按照上面的算法可以選出來 e 和 d：

65537

2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953

也就是說，這個遊戲，任何人要把一個數字 m 傳給我，只需要在 n 進制取個位下，對它進行 65537 次冪（m ^ 65537），我再把它進行 d 次冪，我就拿回了原來的數字。

這個精巧的算法，就是 RSA 加密算法。

希望有人能夠看明白。我真的是盡力了。

原文標題：《用喫奶的勁試着解釋加密算法的數學原理》

撰文：王建碩

來源：ForesightNews

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標題：白話解析 RSA 加密算法的數學原理

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